Introducción
En particular,
el nacimiento del cálculo -consignado en el siglo XVII- atribuido a Newton y
Leibniz, nos permite ilustrar claramente lo dicho: Estos dos hombres han sido
considerados como los inventores del cálculo en el sentido de que dieron a los
procedimientos infinitesimales de sus predecesores inmediatos, Barrow y Fermat,
la unidad algorítmica y la precisión necesaria para ser considerados como un
método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. A su
vez, los procedimientos de Barrow y Fermat estuvieron elaborados a partir de
visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y
Stevin. Los alcances de las operaciones
iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también
resultado directo de las contribuciones de Oresme, Calculator, Arquímedes y
Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas
matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Zenón y Pitágoras.
Sin la filiación de ideas como las de éstos y de muchos otros hombres más, el
cálculo de Newton y Leibniz sería impensable.
¿Qué es el calculo?
El cálculo
diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos
problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico
para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un
instante o intervalo específico.
Al aplicarlo,
es posible determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la baja
del mercado a partir de los datos del índice bursátil, determinar la velocidad
máxima que un vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que
puede mostrar a largo plazo la concentración de una mezcla o predecir el número
de horas-hombre necesarias para un nivel de producción industrial; los
anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden
resolverse gracias a esta disciplina.
Con la
aritmética, geometría, álgebra y geometría analítica, las sociedades más
avanzadas han logrado resolver la mayoría de sus enigmas matemáticos; sin
embargo, existen algunos problemas prácticos que no pueden resolverse
completamente con estos recursos. La falta de consistencia y generalidad en las
soluciones encontradas hasta entonces para esos problemas obliga a una revisión
del cimiento matemático.
De la matemática griega al origen del Cálculo
Tales de
Mileto. Fue quien inicialmente
introdujo los métodos deductivos – no exentos de cierto empirismo y falta de
generalidad- a través de procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente
fueron la base para los Pitagóricos. Para ellos la perfecta consonancia de la
realidad observada con la naturaleza de los conocimientos matemáticos les
llevaron a pensar que las matemáticas estaban en la realidad última, en la
esencia del universo y por lo tanto, “un entendimiento de los principios
matemáticos debía preceder cualquier interpretación válida de la naturaleza”.
“Todo es número”. “Dios es un Geómetra”.
Zenón de Elea
(450 a. de C. aprox.), formuló un buen número de problemas (paradojas) basados
en el infinito. Para los antiguos griegos, los números como tales eran razones
de números enteros, por lo que no todas las longitudes eran números. (Existían
magnitudes geométricas que no podían ser medidas por números; números como
entidades discretas vs magnitudes geométricas continuas.)
Eudoxo (408 a.
de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia
Menor (Turquía). – Método de Exhaución. El método se llama así porque se puede
pensar en expandir sucesivamente áreas conocidas de tal manera que éstas den
cuenta ("dejen exhausta") del área requerida. Cobra importancia como
recurso para hacer demostraciones rigurosas en geometría.
Arquímedes (225
a.de C.) de Siracusa. Hizo una de las más significativas contribuciones
griegas. Su primer avance importante fue mostrar que el área de un segmento de
parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y vértice, y 2/3 del
área del paralelogramo circunscrito. Éste es el primer ejemplo conocido de la
adición de una serie infinita. Arquímedes utilizó el método de exhaución para
encontrar una aproximación al área del círculo. Por supuesto, es un ejemplo
temprano de integración, el cual condujo a aproximar valores de. Entre otras
“integrales” calculadas por Arquímedes, están el volumen y área de una esfera,
volumen y área de un cono, área de una elipse, volumen de cualquier segmento de
un paraboloide de revolución y de un segmento de un hiperboloide de revolución.
Personajes y contribuciones en los siglos XVI-XVII
°Siglo XVI
Johannes Kepler
(1571-1630). Nació en Leonberg, Sacro Imperio Romano, hoy Alemania. En su
trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores
de una elipse; para ello su método consistió en determinar las áreas como sumas
de líneas. En cambio, en su trabajo Nueva Geometría Sólida de los Barriles de
Vino calculó en forma exacta o aproximada el volumen de más de 90 sólidos de
revolución, considerando el sólido compuesto de infinitos cuerpos
infinitesimales de volúmenes conocidos.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Publicó su “Geometria Indivisibilis Continuorum Nova” en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir este procedimiento en forma general como un método de “Suma de potencias de líneas”, que, aunque alejado del rigor, condujo a Cavalieri a un resultado correcto para
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Pierre de
Fermat (1601-1665). Trata de encontrar pruebas más o menos rigurosas de la
conjetura de Cavalieri. En su trabajo sobre curvas polinomiales y = f(x), compara el
valor de f(x) en un punto x, con el valor f (x+E), con E como un intervalo cada vez más
pequeño alrededor de x, de tal manera que encuentra el valor de
antes de que E = 0
°Siglo XVII
Gilles Persone
de Roberval (1602- 1675). Cálculo de tangentes como vectores de “velocidad
instantánea”. Cicloide: su área es 3 veces la del círculo que la genera.
John Wallis
(1616-1703). Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó
sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma y=xk
donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación
de los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los
primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton.
Isaac Barrow
(1630-1677). Maestro de Newton. Competente en árabe y griego, mejoró
traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas. Sus
“Lectiones Geométriae”, publicadas en 1670, incluyen los procedimientos
infinitesimales conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados
tratan tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en
lugar de analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que
implícitamente se toma a la recta tangente como la posición límite de la
secante. En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el
sentido de presentar el carácter inverso entre problemas de tangentes y áreas,
en un sentido estrictamente geométrico, no como un algoritmo de cómputo.
El nacimiento del Cálculo: Newton y Leibniz
Isaac Newton
(1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras
exposiciones del concepto de límite, idea básica del cálculo.
Ofrece tres
modos de interpretación para el nuevo análisis:
Aquél en
términos de infinitesimales usado en su De analysi, su primer trabajo (1669,
publicado en1711);
Aquél en
términos de fluxiones, dado en su Methodus Fluxionum et Serierum Infinitorum
(1671, publicado en 1736), en la que parece apelar con mayor fuerza a su
imaginación;
Aquél en
términos de razones primeras y últimas o límites, dado particularmente en la
obra De Quadratura Curvarum que escribió al final y publicó primero (1704),
visión que él parece considerar más rigurosa.
Gottfried
Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Sus resultados en el cálculo integral fueron
publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el nombre de
”Calculus Summatorius". Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para
expresar la “diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable continua y
ó x. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la
variable misma, lo cual denota por ᶴ dx
El “triángulo
diferencial” que había sido estudiado en varias formas –particularmente en los
trabajos de Torricelli, Fermat y Barrow- es el antecedente más cercano al
enfoque que ofrece Leibniz en su tratamiento de sumas y diferencias -aunque él mismo aseguró que la inspiración
inicial la encontró al estudiar el tratado de Pascal “Traité des sinus du quart
de cercle”. Sus obras dan cuenta de un
método generalizado para abordar esas sumas y diferencias, además del tratamiento
inverso de ambas operaciones, mediante el uso de un sistema de notación y
terminología perfectamente acoplado a la materia que trata en sus bases lógicas
y operativas. Leibniz siempre se dio
cuenta que estaba trabajando con una nueva materia. Se especula que Newton,
hasta que supo de esta postura de Leibniz consideró él mismo su método de
fluxiones como una nueva materia también y un modo de expresión matemática
organizado más que simplemente una útil modificación de reglas anteriores.
El trabajo más
importante de cálculo de Newton estuvo escrito de 1665 a 1676, pero ninguna de
sus obras fue publicada durante ese tiempo. Se ha sugerido que la demora en la
publicación de sus tres principales trabajos fue ocasionada por el hecho de que
estaba insatisfecho con los fundamentos lógicos de la materia. En su monografía
“De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas" no hace explícito
el uso de la notación fluxional ni de la idea. En su lugar usa lo infinitamente
pequeño, tanto geométrico como analítico de manera similar a la que encontramos
en Barrow y Fermat, y extiende su aplicabilidad por el uso del Teorema del
Binomio. En este documento, Newton emplea la idea de un pequeño rectángulo
indefinido o “momento” de área y encuentra la cuadratura de las curvas como
sigue:
Ésta es una
expresión para el área a la cual se llega, no por la determinación de la suma
de áreas infinitesimales, ni a través de métodos equivalentes usados por los
predecesores de Newton desde Antifón a Pascal. En su lugar, como vemos, fue
obtenida por la consideración de incrementos momentáneos en el área en el punto
en cuestión. En otras palabras, mientras que las cuadraturas previas habían
sido encontradas a través del significado o equivalencia de la integral
definida como límite de una suma, Newton
determina la primera razón de cambio del área y desde ésta, encuentra la
propia área a través de lo que ahora llamamos la Integral Indefinida de la
función.
Por su parte,
Leibniz se esforzó desde un principio en popularizar su “nuevo análisis”
publicando todas las reglas de operación, aún las más simples, presentándolas
como si fueran reglas de álgebra y señalando la relación recíproca entre sus
“sumas” y “diferencias” como análoga a la de potencias y raíces. Aunque la
existencia de sus elementos fundamentales la apoyó en principios filosóficos,
no se preocupó mucho en clarificar la naturaleza de lo infinitamente pequeño,
no porque pretendiera hacer de ello un misterio, sino porque sostuvo que su
Cálculo era un “modus operandi” y por lo tanto apeló sólo a la inteligencia
para enfatizar la naturaleza algorítmica del método. Tal vez por ello se le
considera como uno de los fundadores de la corriente formalista en oposición a
la intuicionista en matemáticas: Estaba seguro de que si formulaba
apropiadamente los símbolos y las reglas de operación, y si éstas eran
propiamente aplicadas, algún resultado correcto y razonable se debería de
lograr aún cuando fuera confusa la naturaleza de los elementos involucrados.
El primer
recuento de sus hallazgos, Leibniz lo tituló
“Un Nuevo Método para Máximos y Mínimos como para Tangentes también, el
cual no se obstruye por Cantidades Fraccionarias o Irracionales”, un tratado de
seis páginas que aparece publicado en
1684 y posteriormente se incluye en el “Acta Eruditorum”. En su contenido se
explicitan, sin pruebas, las reglas para las sumas, productos, cocientes,
potencias y raíces, y unas pocas de aplicaciones a problemas de tangentes y
cálculos de máximos, mínimos y puntos de inflexión. Las “cuadraturas” las trata
igualmente en publicaciones independientes posteriores, antes de ser
incorporadas a su “Acta Eruditorum”.
Tanto Newton
como Leibniz establecen en su método reglas operativas para sus principales
elementos –“fluxiones” y “diferencias” respectivamente- y ambos las combinan
haciendo notoria la propiedad inversa –“fluente” y “suma”, respectivamente. Sin
embargo, para ambos, la Diferenciación es la operación fundamental; la
Integración se considera simplemente como la inversa de ella. Este es un punto
de vista que prevalece en el Cálculo elemental actual. Lo que es importante
señalar es que a ambos – Newton y Leibniz- se les considera como los
“Fundadores del Cálculo” precisamente por haber establecido las reglas de
operación y las relaciones descritas.
Cabe también
considerar que las distintas formas de definir la integral que tuvieron Newton
y Leibniz han heredado al Cálculo actual la Integral Indefinida y la Integral
Definida: Mientras que Newton define el fluente como la cantidad generada por
una fluxión dada – como lo vimos antes, es decir, como la cantidad que tiene
una magnitud dada como su fluxión, o como la inversa de la fluxión-, Leibniz
define la Integral como la suma de todos los valores de una magnitud, o como la
suma de un número infinito de rectángulos estrechos, o –en la forma que lo
expresamos actualmente- como el límite de cierta suma característica.
Conclusión
Si bien las
reglas de operación y las principales relaciones entre ellas quedaron
claramente establecidas con Newton y Leibniz, y con ello salía a la luz una
nueva materia: el Cálculo, todavía quedaba mucho por hacer. Sus fundamentos
eran imprecisos, no solamente para sus autores, sino para los estudiosos de las
matemáticas que les sucedieron en el siglo XVIII: durante ese tiempo se buscó
pasar de la justificación basada en el pragmatismo dado por la consistencia de
los resultados obtenidos, con la visión del mundo físico que ofrecía la
geometría Euclideana, hacia una explicación que fuera más allá de lo
intuitivamente. Esto no fue posible hasta el siguiente siglo, en el que el
éxito en el desarrollo del formalismo algebraico dio lugar al impulso de
sistemas matemáticos independientes de los postulados afines a la experiencia
sensorial. Fue hasta entonces que el Cálculo tuvo manera de adoptar sus propias
premisas y construir sus propias definiciones sujetas solamente a los
requerimientos de su consistencia interna.
Comentarios
Juárez Castro Daniel
A mi parecer el calculo diferencial desde los
primeros precursores griegos a sido muy importante, ya que en ese momento se
retomo los conocimientos matemáticos de las antiguas civilizaciones y se empezó
a formular ellos formas mas practicas de obtener resultados fáciles y sencillos
por métodos mas exactos que con ciertos
pasos era mas rápido descubrir un problema, entre estos precursores se
encuentra el primer filosofo Tales de Mileto quien dio a conocer su ya famoso
Teorema de Tales, sin embargo con el paso del tiempo se fueron desarrollando
nuevas formas de resolver problemas pero cada uno de eso matemático trabajaban
por separado y por lo tanto había muchas formas y métodos, había una gran
cantidad de información en cuanto a la aritmética, al algebra, a la geometría;
no fue hasta que en el siglo XVII dos personajes conocidos como los inventores
del calculo los cuales fueron Newton y Leibniz, fueron los que se encargaron a
mi parecer de ordenar todo lo conocido hasta el momento, esta rama en mi
opinión, desde ese momento esa rama a ayudado de manera muy relevante en el
calculo de las cosas desde lo mas sencillo hasta lo mas difícil.
García Pascual Carlos Geovanny
En mi opinión el calculo es una herramienta que
para lograr definirse como tal tuvo que pasar muchos años para que Newton y Leibniz
lograran en conjunto sintetizarlo y que
desde entonces nos a servido para calcular problemas y resolverlos aquellas que
las demás ramas de las matemáticas no pueden por ser irracionales o
enigmáticas, esta rama a podido volver sencillo lo difícil ya que se ajusta a
los diversos problemas cotidianos. Considero que el calculo es fundamental para
todo y aunque hoy en día ya no hay nuevas aportaciones a esta rama ni a las
matemáticas, esta seguirá siendo una de las ramas mas importantes por su
complejidad y por el gran trabajo que estos dos personajes al lograr unir todos
los métodos y volverlos mas sencillos y exactos.
Carrillo Conde Izumi Arlett
En mi opinión el cálculo es una herramienta de
las matemáticas muy importante; saber sus orígenes y como fue que Leibniz y Newton
desarrollaron y crearon lo que hoy conocemos como calculo.
Hoy en día en nuestra sociedad el cálculo es muy
importante para nuestra vida ya que ha hecho posible el avance tecnológico.
El calculo es uno de los mas grandes
razonamientos de la humanidad.
En esta herramienta se utiliza mucho la comprensión
de ecuaciones que involucran funciones y derivadas.
El cálculo lo ocupamos a diario din darnos
cuenta y por ese motivo es muy importante saber como se creó, que formulas tiene
etc.
El calculo no es muy sencillo sin embargo es muy
importante para nuestros avances tecnológicos que día a día se dan.
Bemol Cortes Fredy
El calculo es una herramienta eficaz capaz de
estudiar diversos fenómenos; tiene muchas aplicaciones en diversas ramas de la
ciencia, por esa razón es muy importante comprender que el calculo integra el pensamiento
analítico con comportamientos reales en sistemas físicos.
En matemáticas es muy necesario ya que podemos
resolver muchos problemas, el calculo ha hecho que nuestra tecnología tenga un
avance muy extremo por ejemplo la creación de un objeto.
Una vez establecido por los grandes Newton y Leibniz,
fue aplicable para múltiples campos como la geometría, aritmética, trigonometría,
algebra etc.
El calculo diferencial tiene funciones de variables
reales, por lo tanto, se parten de estructuras algebraicas de los números reales.
El cálculo nos permite también describir el movimiento
y el calculo de las trayectorias, nos ayuda a resolver problemas de áreas y
volumen, también resuelve problemas extremos en campos de la economía y matemática
financiera.
Esta herramienta tiene infinidad de fórmulas y fenómenos.
Hay un factor muy importante LOS LIMITES lo
cual son muy importantes para resolver problemas que se presentan en un ejercicio;
cada limite puede dar una solución muy diferente, los limites son muy
importantes en la convergencia, la continuidad, derivación, integración etc.
Newton es un personaje super importante ya que
el le dio vida al calculo partiendo de la geometría analítica desarrollando que
un enfoque geométrico y analítico de dichas derivadas son aplicadas sobre
curvas definidas a través de ecuaciones.
López Cruz Aldo David
En mi humilde opinión el calculo es una
herramienta derivada de matemáticas de la cual podemos desarrollar diversas
ecuaciones.
El calculo ha tenido muchos resultados
positivos en la tecnología la cual nos beneficia a nosotros los humanos.
Newton es un gran personaje importante del
origen del cálculo; el le dio vida al calculo partiendo de la geometría; sus
primeras investigaciones de newton al principio solo lidiaban con los problemas
geométricos como encontrar tangentes, áreas utilizando la geometría analítica como
base principal.
El calculo ha servido para poder calcular la
diferencia y la explicación de muchos fenómenos por ejemplo determinar la pendiente
de una recta por medio de una recta tangente.
El cálculo estudia los incrementos en las
variables ya sean x o y dos variables relacionadas por ecuaciones; se ocupa
para el estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas,
valores máximos y mínimos, determina longitudes, áreas y volúmenes; su uso del
calculo es muy grande sobre todo en una ciencia o una ingeniería.
Bibliografía:
